DISTRIBUSI HAMPIRAN

D

alam bab sebelumnya telah dibahas tentang distribusi dari statistik yang diperoleh , misalkan Y_n = Σ X_i  berdistribusi binomial b(n , p) jika  X_i independen stokastik berdistribusi bernoulli b( 1 , p ). Demikian juga _n = berdistribusi normal N( µ ,σ²/n ) jika X_i merupakan sampel acak dari distribusi normal N( µ ,σ² ).

Dari dua contoh di atas terlihat bahwa distribusi dari statistik yang diperoleh tergantung dari ukuran sampel n. Pada bab ini akan dibahas suatu distribusi dari statistik yang tidak tergantung dari n. Distribusi yang akan dibahas biasanya dinamakan distribusi hampiran ( limiting distribution).

Definisi :

Misalkan F_n(y) merupakan distribusi komulatif dari peubah acak Y_n yang tergantung dari n, dengan n bilangan bulat positif.  Jika F(y) merupakan distribusi komulatif  sehingga  untuk n ® ¥  untuk setiap titik y , dan F(y) kontinu, maka peubah acak Y_n dinamakan mempunyai distribusi hampiran dengan distribusi komulatif  F(y).

Contoh :

Misalkan Y_n adalah order statistik ke-n dari sampel acak X₁, …………., X_n yang berasal dari distribusi dengan pdf f(x) = 1/q  , 0 < x < q  , q  > 0 , dan nol untuk yang lain. Maka pdf dari Y_n adalah

g_n( y ) =     , 0 < y < q     dan nol untuk yang lain

G_n( y ) =        

maka       

maka  G(y) =

Definisi :

Distribusi komulatif  G(y) dinamakan degenarate distribution pada nilai y = c jika

           G(y) =

Definisi :

Barisan peubah acak  Y₁ ,  Y₂ , …. Dikatakan konvergen stokastik ke konstanta c     jika distribusi hampiran dari Y_n  adalah degenerate pada y = c.

Teorema :

Misalkan F_n(y) merupakan distribusi komulatif dari peubah acak Y_n yang distribusinya tergantung dari n. Misalkan c adalah konstanta yang tidak tergantung dari n. Peubah acak Y_n dikatakan konvergen stokastik ke c jika hanya jika  untuk  e > 0 berlaku

Teorema :

Misalkan Y_n mempunyai distribusi komulatif F_n(y)  dan fungsi pembangkit momen M( t; n) ada untuk - h < t < h dan semua n. Jika terdapat distribusi komulatif F(y) yang bersesuaian dengan fungsi pembangkit momen M(t) sehingga    maka Y_n mempunyai distribusi hampiran F(y).

Teorema Limit Pusat :

Misalkan X₁, …………, X_n merupakan sampel acak dari distribusi yang mempunyai mean µ dan varians σ². Maka peubah acak                                                     Y_n =     mempunyai distribusi hampiran normal baku.

Bukti :

Definisikan M_X-m(t) = m(t).

Soal - soal  latihan :

1.     Misalkan X_n berdistribusi gamma dengan parameter a = n dan b, dengan b tidak tergantung dari n. Misalkan Y_n = X_n / n , maka tentukan distribusi hampiran dari Y_n.

2.     Misalkan Z_n berdistribusi Kai-kuadrat dengan derajat bebas n dan W_n =  Z_n /n . Tentukan distribusi hampiran dari W_n.

3.     Misalkan Z_n berdistribusi Poisson dengan mean µ = n. Tentukan distribusi hampiran dari Y_n = (Z_n - n ) / √n.