3.0 Pendahuluan
| D |
alam penerapan , seperti pada penelitian tidak semua distribusi dari suatu peubah acak dapat digunakan , tetapi ada beberapa distribusi yang sering digunakan diantaranya adalah distribusi binomial, Poisson, Eksponensial, Normal, Chi - Square dan lain sebagainya. Pada bagian ini akan dibahas tentang distribusi-distribusi yang sering digunakan dalam penelitian.
3.1 Distribusi Tipe Diskret
1. Distribusi seragam ( Uniform )
Peubah acak X tipe diskret dikatakan mempunyai distribusi seragam jika mempunyai fkp f ( x ) = 
, x = 1, 2, …………………, n
, x = 1, 2, …………………, n = 0 , yang lain
2. Distribusi Bernoulli
Banyak kejadian dalam sekeliling kita yang hasilnya selalu dual yaitu “ sukses “ atau “gagal”. Satu percobaan yang hanya menghasilkan sukses atau gagal saja dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p disebut kejadian Bernoulli. Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi Bernoulli jika mempunyai fkp f ( x ) = 
Jika sukses dilambangkan dengan 1 dan gagal dengan 0, maka fkp-nya biasanya dituliskan f (x) = px ( 1 – p )1-x , x = 0 , 1
= 0 , yang lain.
3. Distribusi Binomial
Misalkan ada n barisan kejadian yang saling bebas dengan tiap kejadian merupakan kejadian Bernoulli, maka jika X merupakan banyaknya sukses dari barisan tersebut maka X berdistribusi binomial. Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi binomial jika mempunyai fkp
f ( x ) = 
, x = 0, 1, 2, ………………., n ; 0 < p < 1
, x = 0, 1, 2, ………………., n ; 0 < p < 1 = 0 , untuk yang lain
Jika X berdistribusi binomial dengan peluang sukses p, maka biasanya dinotasikan X ~ b ( n , p )
Teorema 3.1
Jika X berdistribusi binomial b ( n , p ) maka E ( X ) = np dan Var ( X ) = np( 1 - p ).
Teorema 3.2
Jika X berdistribusi binomial b ( n , p ) maka M ( t ) = [ ( 1 - p ) + pet )n
4. Distribusi Multinomial
Jika pada distribusi binomial, populasi dibagi menjadi dua kategori maka pada distribusi multinomial, populasi dibagi menjadi beberapa kategori. Misal ada m kategori yaitu A1, ………………., Am dengan peluang p1, …………., pm dengan p1 + ………….+ pm = 1. Misalnya pada A1 terjadi x1 kali, …………, pada Am terjadi xm kali. Fungsi kepadatan peluang dari A1, ………………., Am disebut distribusi multinomial, yang fkpnya dinyatakan sebagai berikut
P ( X1 = x1, ………., Xm = xm ) = 
= 0 , untuk yang lain
5. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik merupakan distribusi binomial jika dikerjakan dengan tanpa pengembalian. Misal ada N obyek yang terdiri atas M obyek dan N - M obyek. Misal dari N obyek tersebut diambil n obyek tanpa pengembalian, dan misal X adalah banyaknya obyek yang terambil dari M, maka X berdistribusi hipergeometrik dengan fkp
f ( x ) = 
, x = 0, 1, 2, ……………….., n
, x = 0, 1, 2, ……………….., n = 0 , yang lain
Teorema 3.3
Jika pada distribusi hipergeometrik N besar sekali ( N ® ¥ ) dan ( M/ N ) ® p, dan sampling dilakukan dengan pengembalian, maka distribusi hipergeometrik menjadi distribusi binomial.
6. Distribusi Geometrik
Misalkan terdapat barisan kejadian yang saling bebas dengan setiap kejadian menghasilkan sukses atau gagal , dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p. Jika X adalah banyaknya kejadian sehingga diperoleh sukses yang pertama maka X berdistribusi geometrik yang fkpnya adalah
f( x ) = ( 1 - p )x - 1 p , x = 1, 2, ……………
= 0 , untuk yang lain
7. Distribusi Negatif Binomial
Misalkan ada barisan kejadian yang saling bebas dengan setiap kejadian hanya menghasikan sukses atau gagal dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p. Misalkan X adalah banyaknya sukses dengan kejadian terakhir sukses , maka X berdistribusi negatif binomial, yang fkpnya adalah
f ( x ) = 
, x = 0, 1, 2 , …………
, x = 0, 1, 2 , ………… = 0 , yang lain
8. Distribusi Poisson
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter l dengan ( l > 0 ) jika X mempunyai fkp
f ( x ) = 
, x = 0, 1, 2, …………..
, x = 0, 1, 2, ………….. = 0 , yang lain
Teorema 3.4
Jika X berdistribusi Poisson dengan parameter l maka E ( X ) = l dan var ( X ) = l .
Teorema 3.5
Jika X berdistribusi Poisson dengan parameter l maka
M ( t ) = 
atau exp ( l ( e t - 1 ) ).
atau exp ( l ( e t - 1 ) ).3.2 Distribusi Tipe Kontinu
1. Distribusi gamma
Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi gamma jika mempunyai fkp f( x ) = 
, x > 0
, x > 0 = 0 , untuk yang lain
Teorema 3.6
Jika X berdistribusi gamma dengan parameter a dan b maka E ( X ) = ab , dan var ( X ) = ab2
2. Distribusi Chi- Square
Jika distribusi gamma diketahui a = n/2 , dan b = 2 maka distribusi gamma dikatakan menjadi distribusi Chi- Square. Fungsi kepadatan peluang dari distribusi ini adalah f ( x ) = 
, x > 0
, x > 0 = 0 , untuk yang lain
Bentuk fkp seperti di atas disebut distribusi chi - square dengan derajat bebas n.
Teorema 3.7
Jika X berdistribusi chi - square dengan derajat bebas n maka E ( X ) = n dan var ( X ) = 2n
Teorema 3.8
Jika X berdistribusi chi - square dengan derajat bebas n maka M ( t ) = 
, t < ½
, t < ½3. Distribusi Eksponensial
Jika distribusi gamma diketahui a = 1, dan b = 1/l , maka distribusi gamma dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter l yang fkp-nya adalah
f ( x ) = l e- l x , x > 0
= 0 , yang lain
Teorema 3.9
Jika X berdistribusi eksponensial dengan parameter l maka E ( X ) = 1/l dan var ( X ) = 1/ l2
4. Distribusi Beta
Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi beta jika mempunyai fkp
f ( x ) = 
, 0 < x < 1
, 0 < x < 1 = 0 , yang lain
5. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi yang paling banyak digunakan oleh para pengguna statistik, karena dengan distribusi ini akan didapat distribusi lain yang dikenal, misalnya distribusi chi - square. Jika peubah X mempunyai distribusi normal dengan mean m dan varians s2 maka fkp-nya adalah
Tidak ada komentar:
Posting Komentar